#头条创作挑战赛#

高等数学不定积分最基础也最重要的定理，叫做“和的线性法则”，学完之后，你就会解大多数的不定积分了。

定理的内容是这样的：若函数f与g在区间I上都存在原函数，k1,k2为两个任意常数，则k1f+k2g在I上也存在原函数，且∫(k1f+k2g)dx=k1∫fdx+k2∫gdx.

这是由“函数和的求导法则”决定的。因为两个不定积分和的导数等于各自的导数的和，而求导和积分是一个互逆的过程，所以结果等于被积函数，因此和的原函数等于原函数的和。

这个定理还可以拓广到多加式的情形，形成和的线性法则，即几个函数和的原函数，等于各个函数的原函数的和。有了这个定理，结合老黄上一篇作品分享的常用积分公式。我们就可以解决大多数不定积分了。

比如，下面这几个不定积分，都可以利用线性法则来解决。

(1)求∫p(x)dx, p(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an; (2)∫(x^4+1)/(x^2+1)dx;

(3)∫dx/((cosx)^2(sinx)^2)；(4)∫cos3x·sinxdx；(5)∫(10^x-10^(-x))^2dx.

解：(1)∫p(x)dx=a_0/(n+1)xn+1+a_1/nxn+…+a_(n-1)/nx2+anx+C. 【求多项式函数的原函数。利用它，我们可以把幂函数的不定积分公式复习个遍。因为多项式是和的概念，所以它的原函数等于各个项的原函数的和，根据幂函数的不定积分公式：指数加1，加1的指数做分母，并且保留前面的系数，就可以得到多项式的不定积分了。注意，虽然每个项的原函数都有一个常数项C，不过不论有多少个常数，它们的和仍是常数C，所以以后这种情况下，都只需要保留一个C就足够了。】

(2)∫(x^4+1)/(x^2+1)dx=∫(x^2-1+2/(x^2+1))dx 【求分式函数的原函数，可以把分式函数化为三个函数的和，分后分别求每个函数的原函数。其中涉及到原函数是反正切函数的不定积分。】

=∫x^2dx-∫dx+∫2/(x^2+1)dx=x^3/3 -x+2arctanx+C.

(3)∫dx/((cosx)^2(sinx)^2) =∫(1/(cosx)^2+1/(sinx)^2)dx 【三角函数相关的不定积分，关键是三角函数的公式要娴熟】

=∫(secx)^2dx+∫(cscx)^2dx= tanx-cotx+C.

(4)∫cos3x·sinxdx=1/2*∫(sin4x-sin2x)dx 【利用了正弦差公式】

= 1/2*∫sin4xdx- 1/2*∫sin2xdx=-1/8*cos4x+1/4*cos2x+C.

(5)∫(10^x-10^(-x))^2dx=∫(100^x-2+100^(-x))dx【完全平方公式直接展开】

=∫100^xdx-∫2dx +∫100^(-x)dx=100^x/ln100-2x+100^(-x)/(-ln100)+C

=(10^2x-10^(-2x))/(2ln10)-2x+C.

可以看到，这类比较简单的不定积分时，我们都是通过将被积函数化成几个不定积分公式的和来解决的。怎么样？你学会了吗？有没有手痒痒的感觉，赶快去找几个简单的例子来练练手吧。